통계학

다음은 통계학을 수강하는 학생 $30$명 성적에 대한 줄기－잎 그림이다. 제$1$사분위수와 최빈값을 더한 값은?

세 사건 $A$, $B$, $C$에 대해 $A$와 $B$는 서로 독립, $A$와 $C$도 서로 독립, $B$와 $C$는 서로 배반이다. $P(A)$ ＝ $0.2$, $P(B)$ ＝ $0.3$, $P(C)$ ＝ $0.5$일 때, $P(A\cup B\cup C)$의 값은?

정규분포 $N$($\mu$,$1$)을 따르는 확률표본 $X_1$, $X_2$, $X_3$을 이용하여 모평균 $\mu$를 추정하려고 한다. 다음에 제시된 $\mu$에 대한 추정량 ${\hat{\mu }}_A$, ${\hat{\mu }}_B$, ${\hat{\mu }}_C$ 중 평균제곱오차($MSE$)가 작은 것부터 순서대로 바르게 나열한 것은?

자료 ($x_i$,$y_i$)($i$ ＝$1$,$2$,…,$10$)에 단순선형회귀모형 $y_i$ ＝ ${\beta }_0$ ＋ ${\beta }_1{x}_i$ ＋ ${ϵ}_i$ 를 최소제곱법으로 적합한 회귀계수의 추정값은 ${\hat{\beta }}_0$ ＝ $5$, ${\hat{\beta }}_1$ ＝ $2$이다. ${\sum }_{i=1}^{10}{x}_i$ ＝ $120$일 때 ${\sum }_{i=1}^{10}{y}_i$의 값은? (단, ${ϵ}_i$는 $N$($0$, ${\sigma }^2$)을 따르고 서로 독립이다)

세 가지 백신에 따른 항체 생성률의 차이가 있는지를 확인하기 위해 백신 $k$($k$ ＝ $1$,$2$,$3$)를 접종한 후, 항체가 미생성된 개체 수($O_{k0}$)와 항체가 생성된 개체 수($O_{k1}$)를 조사한 결과는 다음과 같다.

백신 $k$를 접종한 후 항체가 생성된 개체의 비율을 $p_k$라 할 때, 가설 $H_0$: ‘$p_1$ ＝ $p_2$ ＝ $p_3$이다’ 대 $H{}_1$: ‘$p_1$, $p_2$, $p_3$ 중 적어도 하나는 다르다’에 대해 카이제곱검정을 하고자 한다. 귀무가설이 참일 때 백신 $k$를 접종한 후 항체가 미생성된 개체의 추정 기대도수를 ${\hat{E}}_{k0}$이라 하고 항체가 생성된 개체의 추정 기대도수를 ${\hat{E}}_{k1}$이라 하자. 이에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면?

다음 자료의 중앙값과 산술평균이 각각 $50$, $55$일 때, $x$ － $y$의 값은? (단, $x\ge y$이다)

어느 대학교는 메일을 스팸 메일과 정상 메일로 분류하는 프로그램을 사용하고 있다. 이 프로그램은 스팸 메일의 $99$ %를 스팸 메일로 분류하고, 정상 메일의 $1$ %는 스팸 메일로 분류한다. 이 대학교 전체 메일의 $1$ %는 스팸 메일이다. 이 프로그램이 어떤 메일을 스팸 메일로 분류했을 때, 해당 메일이 정상 메일일 확률은?

볼펜을 제조하는 어느 회사에서는 자사 제품의 판매 비율 $p$를 추정하고자 한다. 판매되는 볼펜을 대상으로 임의추출한 $n$개 표본 중 자사 제품의 비율을 이용하여 $p$를 추정할 때, $95.44$ % 신뢰수준에서 $p$에 대한 추정량의 오차한계를 $0.05$ 이하로 하는 최소 표본의 크기는? (단, 확률변수 $Z$가 표준정규분포를 따를 때 $P(Z\ge 1)$ ＝ $0.1587$, $P(Z\ge 2)$ ＝ $0.0228$이다)

모평균이 $\mu$인 정규분포를 따르는 모집단에서 임의추출한 $10$개 자료의 표본평균이 $11.5$이다. 가설 $H_0$: $\mu$ ＝ $10$ 대 $H_1$: $\mu$ ≠ $10$에 대한 검정통계량의 $p$－값이 $0.052$일 때, 이에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면?

자료 ($x_i$,$y_i$)($i$ ＝ $1$,$2$,…,$11$)에서 표본평균 $\bar{x},\bar{y}$는 각각 $2$, $3$이다. 이 자료에 단순선형회귀모형 $y_i$ ＝ $\beta x_i$ ＋ ${ϵ}_i$를 최소제곱법으로 적합하여 얻은 $\beta$의 추정량을 $\hat{\beta }$이라 할 때, 이에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면? (단, ${ϵ}_i$는 $N$($0$, ${\sigma }^2$)을 따르고 서로 독립이다)

어느 놀이공원은 검은 공과 흰 공이 들어 있는 상자에서 흰 공을 뽑으면 선물을 증정하고 있다. 상자 속의 흰 공의 비율 $p$는 $\frac{1}{2}$로 알려져 있다. 이 비율이 $\frac{1}{4}$로 낮아졌다는 주장을 확인하기 위하여 다음 가설에 대한 검정을 실시하고자 한다.

상자에서 임의로 복원추출한 $4$개의 공이 모두 검은색이면 귀무가설을 기각한다고 할 때, 이 검정법의 제$1$종 오류를 범할 확률과 검정력을 바르게 연결한 것은?

제$1$종 오류를 범할 확률 검정력

다음과 같은 산점도를 갖는 자료 ($x_i$,$y_i$)에 단순선형회귀모형 $y_i$ ＝ ${\beta }_0$ ＋ ${\beta }_1{x}_i$ ＋ ${ϵ}_i$를 최소제곱법으로 적합하여 얻은 추정 회귀직선이 $\hat{y}$ ＝ ${\hat{\beta }}_0$ ＋ ${\hat{\beta }}_1{x}_{}$일 때, 다음 값 중 가장 큰 것은? (단, ${ϵ}_i$는 $N$($0$, ${\sigma }^2$)을 따르고 서로 독립이다)

어떤 작물의 생산량이 비료($A$)의 $4$가지 수준과 토양($B$)의 $3$가지 수준에 따라 차이가 있는지를 알아보고자 한다. 모든 수준 조합마다 동일한 반복수로 측정하여 얻은 분산분석표의 일부는 다음과 같다. 이에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면?

다음은 자료 ($x_{1}i$, $x_{2}i$, $y_i$)($i$ ＝ $1$,$2$,…,$20$)에 다중선형회귀모형 $y_i$ ＝ ${\beta }_0$ ＋ ${\beta }_1{x}_{1i}$ ＋ ${\beta }_2{x}_{2i}$ ＋ ${ϵ}_i$를 최소제곱법으로 적합한 결과이다.

이 회귀모형에 대한 총제곱합($SST$)은 $980$, 회귀제곱합($SSR$)은 $538$일 때, 이에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면? (단, ${ϵ}_i$는 $N$($0$, ${\sigma }^2$)을 따르고 서로 독립이다)

자격증 시험의 응시자 중 $100$명을 임의추출하여 온라인 강의 수강과 자격증 시험 합격 여부를 조사한 결과는 다음과 같다.

온라인 강의 수강 여부와 자격증 시험 합격 여부는 연관성이 없다는 귀무가설을 유의수준 $10$ %에서 검정하고자 할 때, 카이제곱 검정통계량의 값과 검정 결과를 바르게 연결한 것은? (단, ${\chi }_{\alpha }^2(k)$는 자유도가 $k$인 카이제곱분포의 제$100$ × ($1-\alpha$) 백분위수를 나타내고, ${\chi }_{0.1}^2(1)$ ＝ $2.71$, ${\chi }_{0.1}^2(3)$ ＝ $6.25$이다)

카이제곱 검정통계량의 값 검정 결과

두 철강 공장 $A$, $B$에서 생산하는 소재의 인장강도는 모분산이 각각 ${\sigma }_A^2$, ${\sigma }_B^2$인 정규분포를 따른다고 한다. 두 철강 공장 $A$, $B$의 소재를 각각 $13$개, $10$개 임의추출하여 구한 인장강도의 표본분산은 각각 $s_A^2$ ＝ $27$, $s_B^2$ ＝ $9$이다. 두 공장에서 생산하는 소재의 인장강도가 서로 독립일 때, 두 모분산의 비 $\frac{{\sigma }_A^2}{{\sigma }_B^2}$에 대한 $95$ % 신뢰구간은? (단, $F_{\alpha }$($k_1$,$k_2$)는 분자와 분모의 자유도가 각각 $k_1$, $k_2$인 $F$분포의 제$100$ × ($1-\alpha$) 백분위수를 나타내고, $F_{0.025}$($12$,$9$) ＝ $3.87$, $F_{0.025}$($9$,$12$) ＝ $3.44$이다)

세 그룹 $A$, $B$, $C$에서 각각 $4$개, $5$개, $6$개의 관측값을 조사한 결과 그룹별 표본평균과 표본분산은 다음과 같다. 그룹에 따라 평균의 차이가 있는지를 알아보기 위한 분산분석에서 오차제곱합과 그 자유도를 바르게 연결한 것은?

오차제곱합 자유도

$5$명의 학생을 대상으로 특별 교육 프로그램 이수 전후의 학업성취도를 측정한 결과는 다음과 같다. 이수 전후 학업성취도의 평균이 같은지를 검정하기 위한 $t$－검정통계량의 절댓값은? (단, 이수 전후 학업성취도 차이는 서로 독립이고, 정규분포를 따른다)

$1$부터 $8$까지의 숫자가 각각 하나씩 적혀 있는 $8$장의 카드가 있다. 이 중에서 $3$장의 카드를 임의로 비복원추출할 때, 선택된 $3$장의 카드에 적혀 있는 수 중에서 가장 작은 값을 $X$라 하자. $X$의 기댓값 $E(X)$는?

자유도가 $10$인 $t$분포를 따르는 확률변수 $T$가 평균으로부터 사분위수범위의 $m$배 이상 떨어져 있는 값을 극단값으로 정의하자. 확률변수 $T$가 극단값을 가질 확률이 $0.02$ 이하가 되도록 하기 위한 $m$의 최솟값을 $m_0$이라 할 때, $14m_0$의 값은? (단, $t_{\alpha }(k)$는 자유도가 $k$인 $t$분포의 제$100$ × ($1-\alpha$) 백분위수를 나타내고, $t_{0.25}$($10$) ＝ $0.70$, $t_{0.02}$($10$) ＝ $2.36$, $t_{0.01}$($10$) ＝ $2.76$이다)

두 확률변수 $X$, $Y$의 결합확률밀도함수가 다음과 같을 때, $P$$(X>\frac{1}{2})$의 값은?

네 가지 약품 $A$, $B$, $C$, $D$에 대해 각각 $3$회씩 반복하여 측정한 약효는 다음과 같다. 약품에 따라 약효의 차이가 있는지를 검정하기 위한 $F$－검정통계량의 값은?

자료 ($x_i$,$y_i$)($i$ ＝ $1$,$2$,…,$n$)에 단순선형회귀모형 $y_i$ ＝ ${\beta }_0$ ＋ ${\beta }_1{x}_i$ ＋ ${ϵ}_i$를 최소제곱법으로 적합하여 얻은 ${\beta }_0$의 추정값, 회귀제곱합, 잔차평균제곱을 각각 ${\hat{\beta }}_0$, $SSR$, $MSE$라 하자. 설명변수를 $x_i^{\ast }$ ＝ $2x_i$로 변환한 자료 ($x_i^{\ast }$,$y_i$)($i$ ＝ $1$,$2$,…,$n$)에 단순선형회귀모형 $y_i$ ＝ ${\beta }_0^{\ast }$ ＋ ${\beta }_1^{\ast }{x}_i^{\ast }$ ＋ ${ϵ}_i^{\ast }$를 최소제곱법으로 적합하여 얻은 ${\beta }_0^{\ast }$의 추정값, 회귀제곱합, 잔차평균제곱을 각각 $\widehat{{\beta }_0^{\ast }}$, ${SSR}^{\ast }$, ${MSE}^{\ast }$라 하자. 이에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면? (단, ${ϵ}_i$, ${ϵ}_i^{\ast }$는 각각 $N$($0$, ${\sigma }^2$), $N$($0$, (${\sigma }^{\ast }$)${}^2$)을 따르고 서로 독립이다)

어느 공장에서 생산하는 반도체 웨이퍼 $1$장당 결함 수는 평균이 $0.5$인 포아송 분포를 따르고, 평균이 $m$($m>0$)인 포아송 분포의 확률질량함수는 다음과 같다.

웨이퍼당 결함 수가 서로 독립일 때, 갑과 을의 대화에서 (가), (나)에 들어갈 값을 바르게 연결한 것은? (단, 확률변수 $Z$가 표준정규분포를 따를 때 $P$($Z\ge 1$) ＝ $0.1587$, $P$($Z\ge 2$) ＝ $0.0228$이다)

(가) (나)

금융상품 $A$, $B$의 월간 수익률을 각각 확률변수 $R_A$, $R_B$라 하자. 금융상품 $A$, $B$에 분산 투자하였을 때의 수익률 $R_P$는 다음과 같다.

$R_A$, $R_B$의 분산과 공분산이 다음과 같을 때, $R_P$의 분산$Var(R_P)$를 최소로 하는 상수 $a$의 값은?